有关22°幻日

强对流/大气光学/云

在问题“什么是「幻日」，这一自然现象是如何形成的？”中，我们知道了22°幻日（22° parhelia）的形成原理和它与太阳的张角为22°的原因，但并没有解释幻日为什么是这种形态。所以本文主要讨论22°幻日的形态和特点，内容和概念涉及高中物理和最基础的高等数学。

图1是2017年12月29日加拿大温尼伯（Winnipeg）的出现的22°幻日，同时还有不完整的22°晕（22° halo）、幻日环（parhelic circle）和上切弧（upper tangent arc）。22°日晕是由随机取向的六棱柱冰晶形成，此时的温尼伯正深处寒冬气温很低，低空大气中的水蒸气直接通过凝华形成大量微小冰晶——也就是钻石尘（diamond dusts）。随着海拔的增加大气中的冰晶含量逐渐减少，因此22°晕也随着高度角的升高而逐渐变淡。22°晕两侧的光点就是22°幻日，幻日环穿过太阳和两个幻日。22°幻日和幻日环均由plate取向的正六棱柱片状冰晶形成。此时的太阳高度角为10°左右，幻日几乎和22°晕重合。

图2是2013年6月30日出现在英国中部贝柏（Belpher）的一次幻日。此时太阳高度角在40°左右，在这个情况下幻日不再紧贴着22°日晕。随着幻日环半径的减小，幻日远离太阳的尾部出现上翘。由此可见幻日的形态和太阳高度角是相关的，事实上，当太阳高度角为0°、30 °和60°时，幻日距离太阳的角度分别为22°、25°和45°，其颜色也逐渐变淡。

1. 幻日的基本概念

首先，让我们回顾一下22°幻日的形成过程和一些概念。22°晕是由随机取向的柱晶形成，22°幻日则是由主轴平行于地面法线的片晶形成。图3是垂直于六棱柱冰晶主轴的截面上的光路图，阳光入射角为 i_{1} ，最终出射角为 i_{4} ，冰晶楔角（wedge angle）为 \beta_{c}=60° ，出射光和入射光之间的偏向角为 \delta 。在 AB 和 FE 面上的斯涅尔定律可表示为，

\begin{equation} \left\{ \begin{array}{**lr**} {\rm sin}i_{1}=\frac{n_{ice}}{n_{air}}{\rm sin}i_{2}, & \qquad(1)\\ {\rm sin}i_{4}=\frac{n_{ice}}{n_{air}}{\rm sin}i_{3}, & (2) \end{array} \right. \end{equation}

其中， n_{ice} 和 n_{air} 分别为光在冰和空气中的折射率。根据几何关系可以推出，

i_{2}=i_{5}+i_{6}

\beta_{c}=i_{2}+i_{3}

\delta=i_{1}+i_{4}-\beta_{c}

因此可得出偏向角关于入射角的表达式，

\delta=i_{1}-\beta_{c}+{\rm arcsin}\left\{ {\frac{n_{ice}}{n_{air}}\cdot {\rm sin}\left[ \beta_{c}-{\rm arcsin}\left(\frac{n_{air}}{n_{ice}}\cdot {\rm sin}i_{1}\right)\right]} \right\} 。

将（1）和（2）相减并变形可以得到，

{\rm sin\frac{\beta_{c}+\delta}{2}}=\frac{n_{ice}}{n_{air}}{\rm sin}\frac{\beta_{c}}{2} \frac{{\rm cos}\frac{i_{2}-i_{3}}{2}}{{\rm cos}\frac{i_{1}-i_{4}}{2}},\qquad (3)

对(1)和(2)式两边取 i_{2} 的微分，令 d\delta/di_{2}=0 ，可得 i_{1}=i_{4} 和 i_{2}=i_{3} 。

此时 d^{2}\delta/di_{2} ^{2}>0 ，故 \delta 取得极小值。将 i_{1}=i_{4} 和 i_{2}=i_{3} 代入(3)中，便可求得最小偏向角，

\delta_{min}=2 {\rm arcsin}\left[\frac{n_{ice}}{n_{air}}\cdot {\rm sin}\left(\frac{\beta_{c}}{2}\right)\right]-\beta_{c} 。

带入数据后可得幻日的最小偏向角约为22°。这就解释了为什么幻日会出现在太阳平行于地平线的两侧，且张角大约等于22°。

然而这种情况下入射光线和冰晶主轴是垂直，仅仅只能代表太阳高度角为0°时的情况（图4a）。当太阳高度角不为0°时（图 4b），入射光和折射光除了有垂直于主轴平面上的分量，还有与主轴平行的分量，情况就更为复杂。此时如果把光线分量在冰晶主轴和冰晶表面方向进行分解，对解决问题往往能提供很大帮助。

图4 不同太阳高度角下幻日在片晶中的光路。(a) 太阳高度角为0°；(b) 太阳高度角不为0°

2. 三维空间中的斯涅尔定律

图5是三维空间内入射光和折射光的分解的几何示意图。红色实线箭头表示入射光，红色虚线箭头表示折射光，折射光反向的蓝色延长线表示了折射光与入射光所处的平面。 x 轴方向与冰晶主轴方向平行， y 轴方向平行于冰晶表面， z 轴垂直于冰晶表面。其中，入射角 \angle AOD=\theta_{1} ，折射角 \angle POR=\theta_{2} ；入射光在 zOy 平面上分量与冰晶法线方向的夹角 \angle DOC=\alpha_{1} ，对应的折射光分量 \angle TOR=\alpha_{2} ；入射光在 zOx 平面上分量与冰晶法线方向的夹角 \angle BOD=\beta_{1} ，对应的折射光分量 \angle SOP=\beta_{2} ；入射光在 yOx 平面上的投影 HO 与 x 轴的夹角 \angle HOI=\gamma_{1} ，对应折射光分量 \angle PRT=\gamma_{2} 。根据折射率，设 \overline{AO} 长度为 n_{1} ， \overline{LO} 长度为 n_{2} 。所以， \overline{HO}=\overline{LQ}=\overline{PR} ， \gamma_{1}=\gamma_{2} 。

图5 三维空间内入射光和折射光的分解。红色实线箭头表示入射光，红色虚线箭头表示折射光，折射光反向的蓝色延长线表示了折射光与入射光所处的平面

在三维空间内斯涅尔定律仍然可以表示为

n_{1}{\rm sin}\theta_{1}=n_{2}{\rm sin}\theta_{2},\qquad(4)

我们把入射光和反射光在三维坐标系中进行分解，根据勾股定理有

{\rm tan^{2}}\theta_{1}={\rm tan^{2}}\alpha_{1}+{\rm tan^{2}}\beta_{1}

{\rm tan^{2}}\theta_{2}={\rm tan^{2}}\alpha_{2}+{\rm tan^{2}}\beta_{2} 。

但单独分解出的光并不遵循折射定律（比如 \alpha_{1} 和 \alpha_{2} ），但可以通过一定的变换得出他们之间的关系。设 \mu_{12}=\frac{n_{1}}{n_{2}} 和 \mu_{21}=\frac{n_{2}}{n_{1}} ，由(4)可得，

{\rm sin^{2}}\theta_{2}=\mu_{12}^{2}{\rm sin^{2}}\theta_{1}

\frac{{\rm sin^{2}}\theta_{2}}{{\rm sin^{2}}\theta_{2}+{\rm cos^{2}}\theta_{2}}=\mu_{12}^{2}\frac{{\rm sin^{2}}\theta_{1}}{{{\rm sin^{2}}\theta_{1}+{\rm cos^{2}}\theta_{1}}}

\frac{{\rm tan^{2}}\theta_{2}}{1+{\rm tan^{2}}\theta_{2}}=\mu_{12}^{2}\frac{{\rm tan^{2}}\theta_{1}}{{1+{\rm tan^{2}}\theta_{1}}}

{\rm tan^{2}}\theta_{2}=\frac{\mu_{12}^{2}}{1+\left( 1-\mu_{12}^{2} \right){\rm tan^{2}}\theta_{1}}{\rm tan^{2}}\theta_{1}

因为n_{2}{\rm cos}\theta_{2}{\rm tan}\alpha_{2}=n_{1}{\rm cos}\theta_{1}{\rm tan}\alpha_{1}和 n_{2}{\rm cos}\theta_{2}{\rm tan}\beta_{2}=n_{1}{\rm cos}\theta_{1}{\rm tan}\beta_{1}

所以有

{\rm tan^{2}}\alpha_{2}=\frac{\mu_{12}^{2}}{1+\left( 1-\mu_{12}^{2} \right){\rm tan^{2}}\theta_{1}}{\rm tan^{2}}\alpha_{1}

{\rm tan^{2}}\beta_{2}=\frac{\mu_{12}^{2}}{1+\left( 1-\mu_{12}^{2} \right){\rm tan^{2}}\theta_{1}}{\rm tan^{2}}\beta_{1}

记 b_{\alpha \beta}=\frac{\mu_{12}^{2}}{1+\left( 1-\mu_{12}^{2} \right){\rm tan^{2}}\theta_{1}}=\frac{\mu_{12}^{2}}{1+\left( 1-\mu_{12}^{2} \right)\cdot\left( {\rm tan^{2}}\alpha_{1}+{\rm tan^{2}}\beta_{1} \right)} ，有

{\rm tan^{2}}\alpha_{2}=b_{\alpha \beta}{\rm tan^{2}}\alpha_{1}

{\rm tan^{2}}\beta_{2}=b_{\alpha \beta}{\rm tan^{2}}\beta_{1}

我们现在得到了分解后出射角和入射角在两个方向上的方程，并把他们简写为

\begin{equation} \left\{ \begin{array}{**lr**} \alpha_{2}=S_{\alpha}\left( \alpha_{1},\beta_{1},\mu_{12}\right)={\rm arctan}\left[ \left( b_{\alpha\beta}\cdot{\rm tan}^{2}\alpha_{1} \right)^{1/2} \right], & \qquad(5) \\ \beta_{2}=S_{\beta}\left( \alpha_{1},\beta_{1},\mu_{12}\right)={\rm arctan}\left[ \left( b_{\alpha\beta}\cdot{\rm tan}^{2}\beta_{1} \right)^{1/2} \right], &(6) \end{array} \right. \end{equation}

这样我们就在 zOx 和 zOy 平面上分解了入射光和反射光。

3. 幻日光路方程的建立

图6 22°幻日的光路几何关系。（b）和（c）分别为（a）在蓝色箭头和红色箭头方向上的投影。图6（a）中 SO 表示入射光， S_{1}O 、S_{2}O 和 S_{3}O 分别为入射光在冰晶底面、平行于主轴的入射面垂面和入射面上的投影。要注意投影不等于各个面上的分量，所以叠加在一起并不能的得到原光矢量。设此时太阳的高度角为 \psi ，冰晶的旋转角度为 \beta 。

图6 22°幻日的光路几何关系。(b)和(c)分别为(a)中蓝色箭头和红色箭头方向的投影

图6 (b)和(c)中，入射光在 AA'BB' 面上两个方向的角分量分别为 \beta 和 \psi ，由于光是由空气进入冰晶，折射率比为 \mu_{ai} 。把参数带入(5)和(6)中，可求得出射光在两个方向上的角分量为 S_{\alpha}\left( \psi,\beta,\mu_{\rm ai}\right) 和 S_{\beta}\left( \psi,\beta,\mu_{\rm ai}\right) 。由关系 \beta_{c}=i_{2}+i_{3} 可推知，在 CC'DD' 面上， \beta 方向的角分量 \beta_{2}=\beta_{c}-S_{\beta}\left( \psi,\beta,\mu_{\rm ai}\right) ，而 \alpha 方向的角分量仍然为 \alpha_{2}=S_{\beta}\left( \psi,\beta,\mu_{\rm ai}\right) 。由于此时光是由冰晶射入空气，折射率比为 \mu_{ia} 。因此，经过第二次折射后，在两个方向上角分量分别为

\angle MPR=S_{\alpha}\left[ S_{\alpha}\left( \psi,\beta,\mu_{\rm ai}\right),\beta_{c}-S_{\beta}\left( \psi,\beta,\mu_{\rm ai}\right),\mu_{\rm ia} \right]

\angle NP'R=S_{\beta}\left[ S_{\alpha}\left( \psi,\beta,\mu_{\rm ai}\right),\beta_{c}-S_{\beta}\left( \psi,\beta,\mu_{\rm ai}\right),\mu_{\rm ia} \right]

设太阳的垂直张角 \angle PRQ=\theta_{\rm V} 和水平张角 \angle P'RQ'=\theta_{\rm H} 。 \overline{NR} 平行于 \overline{A'B'} 法线， \overline{Q'R} 平行于 \overline{S'O'} ， \overline{QR} 平行于 \overline{SO} 。根据几何关系有，

\angle Q'RP=\beta-\left( \beta_{c}-\angle RP'N\right)

\angle PRQ=\angle PRP'-\angle QRP'=\angle MPR-\psi

所以，经过两次折射后射出冰晶的光线与太阳的垂直张角 \theta_{\rm V} 和水平张角 \theta_{\rm H} 分量分别为，

\begin{equation} \left\{ \begin{array}{**lr**} \theta_{\rm V}=S_{\alpha}\left[ S_{\alpha}\left( \psi,\beta,\mu_{\rm ai}\right),\beta_{c}-S_{\beta}\left( \psi,\beta,\mu_{\rm ai}\right),\mu_{\rm ia} \right]-\psi, \qquad & (7) \\ \theta_{\rm H}=S_{\beta}\left[ S_{\alpha}\left( \psi,\beta,\mu_{\rm ai}\right),\beta_{c}-S_{\beta}\left( \psi,\beta,\mu_{\rm ai}\right),\mu_{\rm ia} \right]+\beta-\beta_{c}, & (8)\end{array} \right. \end{equation}

至此幻日的物理模型建立完毕，由于笔编程能力有限，所以选择用Matlab进行一些简单的仿真。

4. 幻日的仿真结果

我们假设冰晶旋转方向在360°上均匀分布，当太阳高度角为20°时，红光、绿光和蓝光经过冰晶折射形成的幻日如图7所示。从图中可以看出，幻日并不是一个简单的光斑，而是一条V形的曲线，只不过在V的谷底处光强最大，更明显。事实上，22°幻日在冰晕分类中的名称叫做22° 片晶切弧（22° plate arcs）。上切弧（upper tangent arcs）和下切弧（lower tangent arcs）是幻日在垂直于地平线方向上的表现，它们是由主轴平行于地平线的柱晶形成，所以它们的正式名称应该是22°柱晶切弧（22° column arcs）。由于不同波长的光线折射率不同，在红绿蓝三色光中，红光的最小偏向角最小，绿光稍大，蓝光最大，所以幻日在靠近太阳的一侧偏红，远离太阳的一侧偏外蓝。但蓝光和紫光的强度较低，这部分往往隐藏于幻日环中而显现为白色。同时我们还可以发现，当太阳高度角为20°时，幻日的位置并不在22°附近，而是在23°~24°附近。

图8为太阳高度角分别为0°、10°、20°、30°和40°时幻日形态的变化，其中两垂直于x轴虚线为22°晕所在位置，黑色圆圈为太阳所在位置。当太阳高度角为0°时，幻日强度最大，且和22°晕重合。随着太阳太阳高度角的升高，幻日逐渐远离太阳，且在垂直方向上愈发弥散，强度也逐渐变低。当太阳高度角 \psi=45° 时，幻日对太阳的张角 \theta_{\rm V}=30° 。现实生活中，当太阳高度角大于60°时，幻日的强度已经微弱到肉眼几乎不可见。

5. 结语

本文通过建立物理模型，简单的探索了幻日的形成过程和特点。对于比较简单的冰晕（如22°晕、上切弧、下切弧、环天顶弧和环地平弧等），这种方法模拟比较简单，对于更复杂的光晕，则会变得困难且繁琐。因为形成这些复杂冰晕的冰晶姿态更加苛刻，光路折射与反射的次数也更多。同时，由于本模型未考虑冰晶的抖动、全反射临界角和极化等因素，存在不可能出现的光点，也缺少一些可能的光点。但这个模型从物理方面对冰晕的形成过程进行了探讨，有助于理解更为复杂的冰晕的形成过程和表现形式。

除了这种方法，在Walter Tape和Jarmo Moilanen的“冰晕宝典”——《Atmospheric Halos and the Search for Angle X 》中，作者提出了Light Piont Diagram法来求冰晕的最小偏向角和冰晕的表现形态，从另一个角度对冰晕的形成进行了复现。强烈推荐有兴趣的朋友可以去读一读这本书，做进一步研究，当然如果将来有机会本人也会对种方法进行介绍。

然而对于冰晕模拟，以上两种方法均不适合。目前主流光晕模拟程序除了先驱者HaloPoint、HaloSim、仿真速度优秀的HaloRay外，还有由章佳杰大佬应用C++开发了一套完全国产的光晕模拟程序，从综合表现上来说目前可算是世界一流。

HaloRay：

希望能有越来越多的人对冰晕这种大自然的瑰丽杰作产生兴趣，也欢迎冰晕爱好者们多多交流！最后，放一张2014年1月30日德国和捷克边境的组合冰晕。