宝くじは“どれくらい当たる”のか？　高校数学で考える「当せん金額の期待値」

できることなら、もうけたい。

　一夜にして、数千万〜数億円が手に入る可能性がある宝くじ。「そう簡単に当たるわけないんだよな」と落ち込んだり、「日頃の行いが良いからね」とゴキゲンになったりと、当選結果に一喜一憂した経験がある人は少なくないはずですが、実際のところ、“どれくらい当たる”ものなのでしょうか。

　今回は、高校数学でも学習する「期待値」の考え方を使って「宝くじ1枚でいくら手に入るか」を考えてみます。

「期待値」とは？

　そもそも「期待値」とは何なのかというと、「ある確率変数が平均してどのような値をとるか」を示す値であるといえます。ちょっと分かりにくいので、「サイコロの目の期待値」を例に挙げてみましょう。

　1から6まであるサイコロ面が、それぞれ同じ確率（＝6分の1）で出るとします。出る目の値の平均は「1/6×1」「1/6×2」……「1/6×6」を全て足したもので、計算すると「3.5」になります。

　サイコロの目のようなランダムに変化する値を「確率変数」と呼び、確率変数がとる値とそうなる確率の積を足し合わせていくと、得られる結果の平均、すなわち期待値が分かるというわけです。

定番！　ジャンボ宝くじ

　さて、ここからが本題。確率変数を「宝くじ1枚で得られる金額」として、その期待値を求めてみましょう。

　まずは、定番とも言うべきジャンボ宝くじについて。

　一般にいわれる「5大ジャンボ」とは、当せん金が高額な5つの宝くじの総称で、「バレンタインジャンボ（2月）」「ドリームジャンボ（5月）」「サマージャンボ（8月）」「ハロウィンジャンボ（10月）」「年末ジャンボ（12月）」を指します。

　直近にあった2018年のサマージャンボでは、1等の5億円に当たる確率は0.00001％と微々たるものでしたが、6等300円まで行くと10％となかなかのものです。これらの「金額×確率」の値を足していったところ、期待値はおよそ141円でした。

2018年サマージャンボの各等確率

　他のジャンボ宝くじや同時発売の「ジャンボ宝くじミニ（最高額が低め）」でも、おおむね同じ値が出ましたが、年末ジャンボはもう少し高く、昨年（2017）末で約150円の期待値。これらの宝くじは1枚あたり300円と価格が同じなので、狙うなら年末でしょうか。

スクラッチの場合

　では、逆にチャンスが多いスクラッチではどうでしょうか。

　スクラッチはいつでも販売されており、その場で当たり外れが分かるのが特徴です。回によってまちまちですが、今年（2018年）8月の「ドラゴンボールスクラッチ 魔人ブウ ラッキートライアル」は最高1000万円と、ジャンボ宝くじよりは低額ですが、その分当たりそうな気がします。

　先ほど同様、各等の「金額×確率」を足して計算すると、「魔人ブウ　ラッキートライアル」の期待値は90円となりました。1枚が200円のため、割合にすると45％。300円のものもありますが、どれも価格の45％程度の期待値であり、ジャンボ宝くじよりも低くなっています。

数字選択式宝くじの場合

　続いては数字選択式宝くじを見てみましょう。この中には「ロト6」「ロト7」「ミニロト」や「ナンバーズ」「ビンゴ5」という、読んで字のごとく数字を選んで買う宝くじが含まれます。

　同じくじなら価格は同じで、数字選択式宝くじの配当率は各等合計して45％と決まっており、期待値は原則どれを選んでも価格の45％です（実際には、100円未満が切り捨てられるので若干ブレますが）。

　ジャンボ宝くじの期待値が150円（価格の50％）弱ということを考えると、「ジャンボ宝くじの方が良いんじゃ？」という結論になりそうですが……注目すべきはロト6、ロト7の「キャリーオーバー」という制度。

　これは「1等の当たりが出なかった場合、次回にその分の金額を繰り越す」というもの。繰越金額は次の1等に上乗せされ、合計配当率45％とは“別に加算”されていきます。例えば、ロト7では1等の当せん金は最高10億円まで上がる可能性があるのですが、このときの各等の配当率の合計はおよそ58％になり、ジャンボ宝くじの期待値（の価格に対する割合）を上回ります。

まとめ

　というわけで、「宝くじを1枚買ったときの期待値が最も高いのはキャリーオーバー時のロト6、ロト7で、次はジャンボ宝くじ」という試算の結果になりました。

＜期待値で考える「宝くじ1枚でゲットできる金額」＞

※数字選択式宝くじ（キャリーオーバー時）は、ロト7最大時の場合

　ただし、残念ながらというべきか当然というべきか、いずれも購入金額を上回る数値にはなりませんでした。「宝くじは夢を買うもの」ともいいますし、「一等当たっちゃったら、どうしようかな」とワクワクできるくらいの金額で購入するのが、楽しむコツなのかもしれません。

おまけ：数字選択式宝くじの仕組み

　数字選択式宝くじは共通して、総売上の一定割合を決められた配当率に基づいて各等に割り振り、その金額を同じ等級の当たりくじに等分する「パリミュチュエル方式」という配当方式を採用しています。

　ちょっと難しいのですが、この方式の期待値を算出する方法も紹介しましょう。

パリミュチュエル方式で、当せん金額が決まる仕組み

ある等級に当たる確率は数学的に求めることができ、例えば、ロト7の1等（37の数から7つの本数字を引く）は1029万5472分の1

「当たると考えられるくじの数」の求め方

「売れた本数」は、「総売上」を「1枚の価格」で割ると求められるので、こう置き換えられます。これを最初の式に当てはまると……

「理論上の当せん金額」が求められます。さらに期待値は「当せん金額×当たる確率」の和で求められるので……

パリミュチュエル方式の期待値

【修正】10月4日14時：一部画像の内容に誤りがあり、差し替えました。