部分積分
積分(数学Ⅲ)(教科書範囲) ★★
部分積分を扱います.
このページでは不定積分と定積分を同時に扱います.同形出現のタイプもすべて扱います.
部分積分
部分積分とは,2つの関数の積で構成された関数を積分する手段です.
$\displaystyle \int_{}^{} \ x \sin x\,dx$
上のような積分は,(微分は簡単ですが)積分をするのは難しく,それ用の公式が必要になります.
部分積分
$\displaystyle \color{red}{\boldsymbol{\int_{}^{} \ f(x)g(x)\,dx=f(x)G(x)-\int_{}^{} \ f'(x)G(x)\,dx}}$
$\displaystyle \color{red}{\boldsymbol{\int_{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=\Bigl[f(x)G(x)\Bigr]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}f'(x)G(x)\,dx}}$
※ $G(x)$ は $g(x)$ の原始関数( $G'(x)=g(x)$ ).
証明
$(f(x)G(x))'=f'(x)G(x)+f(x)g(x)$
$\Longleftrightarrow \ f(x)g(x)=(f(x)G(x))'-f'(x)G(x)$
両辺 $x$ で不定積分すると
$\displaystyle \int_{}^{} \ f(x)g(x)\,dx=f(x)G(x)-\int_{}^{} \ f'(x)G(x)\,dx$
両辺 $a$ から $b$ で定積分すると
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=\Bigl[f(x)G(x)\Bigr]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}f'(x)G(x)\,dx$
積の微分公式から生まれます.証明を理解しておくと忘れても安心です.
$f(x)$ は微分をし,$g(x)$ は積分することになるので,基本的には $f(x)$ は微分をして定数になるものを選びます.しかし $\log x$ が出てきたら,そちらを $f(x)$ に選びます.ここが唯一注意すべき点です.
部分積分の計算の主なタイプ
部分積分は主に3つのタイプに分かれます.
部分積分の計算の主なタイプ
例Ⅰ $\displaystyle \int_{}^{} \ xe^{x}\,dx$
Ⅱ $\displaystyle \int_{}^{} \ x\log x\,dx$
Ⅲ $\displaystyle \int_{}^{} \ e^{x}\sin x\,dx$
Ⅰ 標準的なタイプで,微分をして定数になる方(今回は $x$ )を $f(x)$ にします.
Ⅱ $\log$ が入っているタイプです.$\log x$ の方を $f(x)$ にします.
Ⅲ どちらも微分をして定数にならないタイプです.検定教科書の発展になりますが入試ではよく出ます.どちらを $f(x)$ としても構いませんが,部分積分を2回繰り返すことにより解きます.よく,同形出現と呼ばれていて有名です.
例題と練習問題
例題
例題
次の積分を求めよ.
(1) $\displaystyle \int_{}^{} \ xe^{x}\,dx$
(2) $\displaystyle \int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx$
(3) $\displaystyle \int_{}^{} \ x\log x\,dx$
(4) $\displaystyle \int_{1}^{2}x^{2}\log x\,dx$
(5) $\displaystyle \int_{}^{} \ x^{2}e^{-x}\,dx$
(6) $\displaystyle \int_{}^{} \ e^{x}\sin x\,dx$
講義
(1)(2)標準的で,$x$ を $f(x)$ にします.
(3)(4) $\log x$ を $f(x)$ にします.
(5)部分積分が2回必要です.
(6)積分を $I$ などと文字でおき,部分積分を2回実行します.
解答
以下 $C$ は積分定数とする.
(1)
$\displaystyle \int_{}^{} \ xe^{x}\,dx$
$\displaystyle =xe^{x}-\int_{}^{} \ 1\cdot e^{x}\,dx$
$=\boldsymbol{xe^{x}-e^{x}+C}$
(2)
$\displaystyle \int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx$
$\displaystyle =\Bigl[x(-\cos x)\Bigr]_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi}1(-\cos x)\,dx$
$\displaystyle =\pi+\int_{0}^{\pi} \cos x\,dx$
$\displaystyle =\pi+\Bigl[\sin x \Bigr]_{0}^{\pi}$
$=\boldsymbol{\pi}$
(3)
$\displaystyle \int_{}^{} \ x\log x\,dx$
$\displaystyle =\dfrac{x^2}{2}\log x-\int_{}^{} \ \dfrac{x^2}{2}\cdot\dfrac{1}{x}\,dx$
$=\boldsymbol{\dfrac{x^2}{2}\log x-\dfrac{x^2}{4}+C}$
(4)
$\displaystyle \int_{1}^{2}x^{2}\log x\,dx$
$\displaystyle =\left[\dfrac{x^3}{3}\log x\right]_{1}^{2}-\int_{1}^{2}\dfrac{x^3}{3}\cdot\dfrac{1}{x}\,dx$
$\displaystyle =\dfrac{8}{3}\log 2-\left[\dfrac{x^3}{9}\right]_{1}^{2}$
$=\boldsymbol{\dfrac{8}{3}\log 2-\dfrac{7}{9}}$
(5)
$\displaystyle \int_{}^{} \ x^{2}e^{-x}\,dx$
$\displaystyle =x^{2}(-e^{-x})-\int_{}^{} \ 2x(-e^{-x})\,dx$
$\displaystyle =-x^{2}e^{-x}+\int_{}^{} \ 2xe^{-x}\,dx$
$\displaystyle =-x^{2}e^{-x}+2x(-e^{-x})-\int_{}^{} \ 2(-e^{-x})\,dx$
$\displaystyle =-x^{2}e^{-x}-2xe^{-x}+\int_{}^{} \ 2e^{-x}\,dx$
$=\boldsymbol{-x^{2}e^{-x}-2xe^{-x}-2e^{-x}+C}$
(6)
$\displaystyle I=\int_{}^{} \ e^{x}\sin x\,dx$ とおく.
$\displaystyle I$
$\displaystyle =e^{x}\sin x-\int_{}^{} \ e^{x}\cos x\,dx$
$\displaystyle =e^{x}\sin x-\left(e^{x}\cos x-\int_{}^{} \ e^{x}(-\sin x)\,dx\right)$
$\displaystyle =e^{x}\sin x-e^{x}\cos x-\int_{}^{} \ e^{x}\sin x\,dx$ ←同形出現
$\displaystyle =e^{x}(\sin x-\cos x)-I$
$\displaystyle 2I=e^{x}(\sin x-\cos x)$ だが,積分定数を入れて
$\boldsymbol{I=\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x-\cos x)+C}$
練習問題
練習
次の積分を求めよ.
(1) $\displaystyle \int_{}^{} \ xe^{-2x}\,dx$
(2) $\displaystyle \int_{0}^{\pi}x\sin 2x\,dx$
(3) $\displaystyle \int_{}^{} \ \log x\,dx$
(4) $\displaystyle \int_{}^{} \ x^{2}\cos x\,dx$
(5) $\displaystyle \int_{1}^{2}x(\log x)^{2}\,dx$
(6) $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx$
(7) $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \ e^{-x}\cos 2x\,dx$
解答
以下,$C$ は積分定数とする.
(1)
$\displaystyle \int_{}^{} \ xe^{-2x}\,dx$
$\displaystyle =x\left(-\dfrac{1}{2}e^{-2x}\right)-\int_{}^{} \ 1\cdot \left(-\dfrac{1}{2}e^{-2x}\right)\,dx$
$\displaystyle =-\dfrac{x}{2}e^{-2x}+\int_{}^{} \ \dfrac{1}{2}e^{-2x}\,dx$
$=\boldsymbol{-\dfrac{x}{2}e^{-2x}-\dfrac{1}{4}e^{-2x}+C}$
(2)
$\displaystyle \int_{0}^{\pi}x\sin 2x\,dx$
$\displaystyle =\left[x\left(-\dfrac{1}{2}\cos 2x\right)\right]_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi}\left(-\dfrac{1}{2}\cos 2x\right)\,dx$
$\displaystyle =-\dfrac{\pi}{2}+\int_{0}^{\pi}\dfrac{1}{2}\cos 2x\,dx$
$=\boldsymbol{-\dfrac{\pi}{2}}$
(3)
$\displaystyle \int_{}^{} \ 1\cdot \log x\,dx$
$\displaystyle =x\log x-\int_{}^{} \ x\cdot \dfrac{1}{x}\,dx$
$=\boldsymbol{x\log x-x+C}$
(4)
$\displaystyle \int_{}^{} \ x^{2}\cos x\,dx$
$\displaystyle =x^{2}\sin x-\int_{}^{} \ 2x\sin x\,dx$
$\displaystyle =x^{2}\sin x-\left(2x(-\cos x)-\int_{}^{} \ 2(-\cos x)\,dx\right)$
$\displaystyle =x^{2}\sin x+2x\cos x-\int_{}^{} \ 2\cos x\,dx$
$=\boldsymbol{x^{2}\sin x+2x\cos x-2\sin x+C}$
(5)
$\displaystyle \int_{1}^{2}x(\log x)^{2}\,dx$
$\displaystyle =\left[\dfrac{x^{2}}{2}(\log x)^{2}\right]_{1}^{2}-\int_{1}^{2}\dfrac{x^{2}}{2}\cdot 2(\log x)\dfrac{1}{x}\,dx$
$\displaystyle =2(\log 2)^{2}-\int_{1}^{2}x(\log x)\,dx$
$\displaystyle =2(\log 2)^{2}-\left(\left[\dfrac{x^{2}}{2}(\log x)\right]_{1}^{2}-\int_{1}^{2}\dfrac{x^2}{2}\cdot\dfrac{1}{x}\,dx\right)$
$\displaystyle =2(\log 2)^{2}-2\log 2+\int_{1}^{2}\dfrac{x}{2}\,dx$
$\displaystyle =2(\log 2)^{2}-2\log 2+\left[\dfrac{x^2}{4} \right]_{1}^{2}$
$=\boldsymbol{2(\log 2)^{2}-2\log 2+\dfrac{3}{4}}$
(6)
$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx$
$\displaystyle =\left[\dfrac{1}{2}(x-\alpha)^{2}(x-\beta)\right]_{\alpha}^{\beta}-\int_{\alpha}^{\beta}\dfrac{1}{2}(x-\alpha)^{2}\,dx$
$\displaystyle =-\left[\dfrac{1}{6}(x-\alpha)^{3}\right]_{\alpha}^{\beta}$
$\displaystyle =\boldsymbol{-\dfrac{1}{6}(\beta-\alpha)^{3}}$
※ 1/6公式の証明になります.
(7)
$\displaystyle I=\int_{}^{} \ e^{-x}\cos 2x\,dx$ とおく.
$\displaystyle I$
$\displaystyle =-e^{-x}\cos2x-\int_{}^{} \ (-e^{-x})(-2\sin 2x)\,dx$
$\displaystyle =-e^{-x}\cos2x-2\int_{}^{} \ e^{-x}\sin 2x\,dx$
$\displaystyle =-e^{-x}\cos2x-2\left(-e^{-x}\sin 2x-\int_{}^{} \ (-e^{-x})2\cos 2x\,dx\right)$
$\displaystyle =-e^{-x}\cos2x+2e^{-x}\sin2x-4I$
$\displaystyle 5I=e^{-x}\left(2\sin 2x-\cos 2x\right)$ だが,積分定数を入れて
$I=\dfrac{e^{-x}}{5}(2\sin 2x-\cos 2x)+C$
これより
$\displaystyle \int_{0}^{\pi} \ e^{-x}\cos 2x\,dx$
$=\left[\dfrac{e^{-x}}{5}(2\sin 2x-\cos 2x)\right]_{0}^{\pi}$
$=\boldsymbol{\dfrac{1}{5}(1-e^{-\pi})}$